12. Решение уравнений. методом замены переменной

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида ах⁴ +bх² + с = 0.

Биквадратные уравнения решаются методом введения новой переменной: положив  x² = t  (примечание: новую переменную можно назвать любой буквой: y, u...)

  (t > 0), придём к квадратному уравнению at² + bt + c = 0.

Пример 1.   2х⁴ + 3х² - 5 = 0.

Введем новую переменную  x² = t,    где  t > 0, получим уравнение 2t² + 3t -5 = 0.

Решив его, получим корни: t₁ =1, t₂ = - 5.

t₂ = - 5 условию t > 0 не удовлетворяет.

Далее решаем уравнение х² = 1, его корни х_1,2 = ± 1.

Ответ:  ± 1.

Пример 2. 4х⁴  - 17х² -15 = 0.

Введем новую переменную  x² = t,  где  t > 0, получим уравнение   4t² - 17t - 15 = 0.

             D = b² - 4ac = (- 17)² - 4∙4∙ (- 15) = 529.

Пример 3. х⁴  -  37х² + 36 = 0.

Введем новую переменную  x² = t,  получим уравнение

t² - 37t + 36 = 0.

Решив его, получим корни: t₁ =1, t₂ = 36.

Далее решаем уравнения: 1) х² = 1,   х_1,2 = ± 1.

                                             2) х² = 36,  х_1,2 = ± 6.

Ответ:  ± 1;  ± 6.

Пример 4. х⁴  + 37х² +36 = 0.

Введем новую переменную  x² = t,    где  t > 0, получим уравнение t² + 37t + 36 = 0.

Решив его, получим корни: t₁ = -1, t₂ = -36; которые не удовлетворяют условию   t > 0, следовательно, исходное уравнение корней не имеет.

Домашнее задание

1 уровень

Решите биквадратные уравнения:
1) х⁴ + х² — 2 = 0;
2) х⁴ — 3х² — 4 = 0.

2 уровень

1. Решите биквадратные уравнения:
1) 9х⁴ + 8х² — 1 = 0;
 2) 20х⁴ — х² — 1 = 0.

2. Разложить на множители:

1) х⁴ — 12х²  + 32;
2) 256х⁴  — 32х² +1=0.

3 уровень

1. Решите биквадратные уравнения:
1) х⁴  — 18х² + 81=0;
2)  х⁴ — 20х²  + 96;
3)  х⁴  — 9х² = 0.

2. Разложить на множители:
1) 6х⁴ — 5х²  + 1;
2) 4z⁴ — 5z²  + 1.