2. Теорема, обратная теореме Виета

Обратная Теорема Виета 
Если числа x₁ и x₂ удовлетворяют соотношениям x₁ + x₂ = – p и x₁ x₂ = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x² + px + q = 0.

Смотрите Видеоурок по решению задач

Примеры решения квадратных  уравнений:

1. x² − 9x + 14 = 0;
2. x² − 12x + 27 = 0;
3. 3x² + 33x + 30 = 0;
4. −7x² + 77x − 210 = 0.

Решение

Пример 1.  x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета:   

x₁ + x₂ = −(−9) = 9;   

x₁ · x₂ = 14.  

Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7.

Пример 2. x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета: 

x₁ + x₂ = −(−12) = 12;

 x₁ · x₂ = 27. 

Отсюда корни: 3 и 9.

Пример 3. 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным.

Разделим обе стороны уравнения на коэффициент

a = 3.   Получим: x² + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета:

x₁ + x₂ = −11; 

x₁ · x₂ = 10

Корни: −10 и −1.

Пример 4. −7x² + 77x − 210 = 0 —коэффициент при x² не равен 1, т. е. уравнение не приведенное.

Делим все на число a = −7.  Получим:x² − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: 

x₁ + x₂ = −(−11) = 11; 

x₁ · x₂ = 30; 

из этих уравнений легко найти  корни: 5 и 6.

Домашнее задание

п. 5.7

1 уровень

1.     Проверьте, является ли пара чисел х₁ и х₂ корнями уравнения:

1)    х² - 13х + 42=0, х₁=6, х₂=7;  

2)     2х² + 5х + 1=0, х₁=0,2, х₂=5.

2.     Укажите корни квадратного уравнения, используя обратную теорему Виета:

1)    х² + 2х - 15=0; 

2)      х² - 15х - 16=0;  

3)      х² - 6х - 16=0

2 уровень

1.     Укажите корни квадратного уравнения, используя обратную теорему Виета:

1)    х² - 2001х + 2000=0;  

2)    х² - 9х + 20=0;  

3)    х² - 16=0.

3 уровень

1.     Решите уравнение,  используя обратную теорему Виета:

1)    х² + 4890х - 4891 = 0;   

2)    х² – 15х = 0               

3)    х² – рх + р – 1 = 0.

2.     В уравнении х² – kх +6 = 0 один из корней равен 1. Найдите коэффициент  k и второй корень уравнения.

3.     При каком значении t уравнение 4х² + 8х – t = 0 имеет единственный корень? Найдите этот корень, используя теорему Виета.