3. Обратная теорема Виета. Решение задач

Более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х2 – 12х + с = 0 в три раза больше, чем  второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х₂.

Тогда первый корень х1 = 3х₂.

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х₂ + х₂ = 2,4.

Отсюда х₂ = 0,6. Следовательно х₁ = 1,8.

Ответ: с = (х₁ · х₂) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х2 – 8х + p = 0, причём 3х₁ + 4х₂ = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х₁ + х₂ = 8, а по условию 3х₁ + 4х₂ = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х₁ = 3, х₂ = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х2 + 8 х – 1 = 0, найдите  х₁4 + х₂4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х₁ + х₂ = -8/3 и х₁ · х₂ = -1/3 и преобразуем выражение

а) х₁4 + х₂4 = (х₁2 + х₂2)2 – 2х₁2х₂2 = ((х₁ + х₂)2 – 2х₁х₂)2 – 2(х₁х₂)2 = ((-8/3)2 – 2 · (-1/3))2 – 2 · (-1/3)2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1)2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3)2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂ и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х₁ – х₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂ = 2а,  х₁ · х₂ = 2а – 1. Посчитаем 

х₁2 + х₂2 = (х₁ + х₂)2 – 2х₁ · х₂. Или после подстановки х₁2 + х₂2 = (2а)2 – 2 · (2а – 1) = 4а2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х₁ + х₂ = х₁2 + х₂2. Получим: 2а = 4а2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1 и а₂ = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х₁3 + х₂3 = х₁2 · х₂2. Или: (х₁ + х₂)(х₁2 – х₁ · х₂ + х₂2) = (х₁х₂)2.

Необходимо преобразовать второй множитель. х₁2 – х₁ · х₂ + х₂2 = ((х₁ + х₂)2 – 2х₁х₂) – х₁х₂.

Получим (х₁ + х₂)((х₁ + х₂)2 – 3х₁х₂) = (х₁х₂)2. Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a)2 – 3 · c/a) = (c/a)2. Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b2)/a = c2. Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х2 + 2ах + 3а2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х₁ и х₂, то их сумма х_{1 +} х₂ = -2а, а произведение х_{1 ·} х_{2 =} 3а2 – 6а – 2.

Вычисляем х₁2 ₊ х₂2 = (х_{1 +} х₂)2 – 2х₁ · х₂ = (-2а)2 – 2(3а2 – 6а – 2) = -2а2 + 12а + 4 = -2(а – 3)2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂ = 1/х₂. (*)

Решение.

Очевидно, что  х_{1 +} х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂.

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда:  р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ · х₂) =  7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1  + 7/3  – 2/3) = 8. Ответ получен.

Домашнее задание

1 уровень
1.       Верно ли, что числа:

1)      -1 и -5 являются корнями квадратного уравнения х²+6х+5=0;

2)      6 и 2 являются корнями квадратного уравнения х²-8х+12=0;

3)       5 и 1 являются корнями квадратного уравнения х²-4х-5=0;

2.       Найдите корни уравнения,  пользуясь теоремой Виета:

1)      а² – а – 6 = 0;

2)      х² – 9х +8 = 0;

3)      3х² +2х -1 = 0.

2 уровень

1.       Найдите корни уравнения,  пользуясь теоремой Виета:

1)      b² + 9b + 20 = 0;

2)    х² +5х  - 6 = 0.  

3)      12х² + 13х +3 = 0;

2.       Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1)      3а² – 8а +5;

2)      9х² + 24х +16;

3)       25а² + 40а  + 16.

3 уровень
1.       В каждом уравнении найдите р, используя дополнительные условия:

1)      х² – 5х + р = 0, если х₁ = -3;

2)      х² + рх + 35 = 0, если х₂ = 7.