13. Решение уравнений, методом замены переменной

Внимательно рассмотрите примеры.

Пример 1.

Решить уравнение (x²–5x+4)(x²–5x+6)=120.

Решение:

Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится уравнение

x⁴–10x³+35x²–50x–96=0,

для которого трудно найти способ решения.

Рассмотрим другой способ:

(x²–5x+4)(x²–5x+6)=120

Можно воспользоваться следующей особенностью исходного уравнения: в его левой части переменная х входит только в выражение x²–5x, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной.

Введём замену:  x²–5x=y.

Тогда исходное уравнение сведётся к уравнению с переменной у:   (y+4)(y+6)=120.

Упростим его:   y²+10y–96=0.

Решим это квадратное уравнение.

Корни этого уравнения: y₁=–16; y₂=6.
Вернёмся к нашей замене. Осталось решить два уравнения:

x²–5x=–16 и x²–5x=6.

Решая первое уравнение, найдём, что оно не имеет корней.

Решая второе уравнение, найдём два корня: x₁=–1; x₂=6.

Ответ: x₁=–1; x₂=6.

Пример 2.

Решить уравнение: (x²+x)²–5(x²+x)+6=0.

Решение:

Введём замену:  t=x²+x.

Тогда исходное уравнение сведётся к уравнению с переменной t: t²–5t+6=0.

Найдем его корни с помощью теоремы, обратной теореме Виета: t₁=2; t₂=3.

Вернёмся к нашей замене. Осталось решить два уравнения:

x²+x=2 и x²+x=3.

x²+x-2=0 и x²+x-3=0.

Решая первое уравнение, найдём  корни x₁= –2; x₂=1.
Решая второе уравнение, найдём  корни:

Пример 3.

Решить уравнение (x²–1)(x²+1)–4(x²–11)=0.

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения и решим полученное биквадратное уравнение:

x⁴–1–4x²+44=0;
x⁴–4x²+43=0.

Введем замену x²=t (t>0);

t²–4t+43=0.

D= (-4)2-4·43=16-172=-156

Дискриминант этого уравнения отрицательный, т. е. корней нет.

Ответ: Корней нет.

Домашнее задание

1 уровень

Решите уравнения:
1)    (4х²-8)² + 11(4х²-8)+28=0;
2)    2(2х²+1)² + 7(2х²+1)+3=0.

2 уровень
1. Решите уравнения:
1)    2(2х²-3)² + 7(2х²-3)+5=0;
2)    (х²+4х)² + 9(х²+4х)+20=0.

2. Решите уравнение:

(х⁴+3х²+2)(х⁴+7х²+10)=0

3 уровень

1. Решите уравнения:

1)    (х²-2х)² - 2(х²-2х) =3;

2)    (2х²+3)² + 11=12(2х²+3).

2. Решите уравнения:

1)    (х²+х+6)(х²+х-4)=144;

2)    (х²-3х-4)(х+2)(х-5)=72.